משוואה מעריכית בניסוי וטעייה – מציאת nסדרות 571 · שיעור 42

סדרות · שאלון 571

שיעור 42: משוואה מעריכית בניסוי וטעייה – מציאת n

פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף א – המקום של האיבר 768

3סעיף ב – מספר האיברים מהסכום

4סעיף ג – האיבר הראשון שגדול מ־10,000

5סעיף ד – מתי האיברים קטנים מ־0.01

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית שבה a₁ = 3 והמנה היא q = 2.

א. באיזה מקום בסדרה נמצא האיבר 768?

ב. כמה איברים ראשונים בסדרה צריך לחבר כדי שהסכום יהיה 3,069?

ג. מהו האיבר הראשון בסדרה שגדול מ־10,000? באיזה מקום הוא נמצא?

נתונה סדרה הנדסית נוספת שבה b₁ = 64 והמנה היא q = 12.

📄 נוסח השאלה · המשך

ד. החל מאיזה מקום האיברים של הסדרה הזאת קטנים מ־0.01?

סעיף א – המקום של האיבר 768

a_n = 3 · 2^{n − 1}

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

3 · 2^{n − 1} = 768

2^{n − 1} = 768 : 3 = 256

את המשוואה המעריכית פותרים בניסוי וטעייה – מחשבים חזקות של 2 עד שמגיעים ל־256:

2⁶ = 64

2⁷ = 128

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סעיף א – המקום של האיבר 768 · המשך

2⁷ = 128

2⁸ = 256

n − 1 = 8

n = 9

בדיקה: a₉ = 3 · 2⁸ = 3 · 256 = 768 ✓

✅ פתרון סופי: האיבר 768 נמצא במקום n = 9

סעיף ב – מספר האיברים מהסכום

S_n = 3(2ⁿ − 1)2 − 1 = 3(2ⁿ − 1)

📐 סכום בסדרה הנדסית

3(2ⁿ − 1) = 3,069

2ⁿ − 1 = 1,023

2ⁿ = 1,024

ניסוי וטעייה:

2⁹ = 512

📐 סכום בסדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

סעיף ב – מספר האיברים מהסכום · המשך

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1,024

n = 10

בדיקה: S₁₀ = 3(1,024 − 1)

= 3 · 1,023 = 3,069 ✓

✅ פתרון סופי: צריך לחבר 10 איברים

סעיף ג – האיבר הראשון שגדול מ־10,000

3 · 2^{n − 1} > 10,000

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

2^{n − 1} > 10,0003 ≈ 3,333.3

נחפש את החזקה הראשונה של 2 שגדולה מ־3,333.3:

2¹¹ = 2,048 < 3,333.3

2¹² = 4,096 > 3,333.3

n − 1 = 12

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סעיף ג – האיבר הראשון שגדול מ־10,000 · המשך

n − 1 = 12

n = 13

a₁₃ = 3 · 2¹²

a₁₃ = 3 · 4,096 = 12,288

בדיקה: האיבר שלפניו: a₁₂ = 3 · 2,048 = 6,144 < 10,000 ✓

✅ פתרון סופי: האיבר 12,288 במקום n = 13

סעיף ד – מתי האיברים קטנים מ־0.01

b_n = 64 · (12)^{n − 1} = 642^{n − 1}

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

642^{n − 1} < 0.01

נכפול את שני האגפים ב־2^{n − 1} (מספר חיובי) ונחלק ב־0.01:

2^{n − 1} > 640.01 = 6,400

ניסוי וטעייה:

2¹² = 4,096 < 6,400

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סעיף ד – מתי האיברים קטנים מ־0.01 · המשך

2¹² = 4,096 < 6,400

2¹³ = 8,192 > 6,400

n − 1 ≥ 13

n ≥ 14

בדיקה: b₁₃ = 644,096 = 0.015625 > 0.01 , b₁₄ = 648,192 = 0.0078125 < 0.01 ✓

הסדרה יורדת (המנה 12), ולכן כל האיברים שאחרי b₁₄ קטנים עוד יותר.

סעיף ד – מתי האיברים קטנים מ־0.01 · המשך

הסדרה יורדת (המנה 12), ולכן כל האיברים שאחרי b₁₄ קטנים עוד יותר.

✅ פתרון סופי: החל מהמקום n = 14

📌 סיכום התשובות

סעיף א

n = 9

סעיף ב

n = 10

סעיף ג

12,288 , n = 13

סעיף ד

החל מ־n = 14

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא